如何证明当a>=1且n是偶数的时候， a+1不能整除 a^n + 1

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/21 23:26:20
是一道数论的题，
老师提示要用到(a^n-b^n)=(a-b)(a^n-1 + a^n-2 b + ....+ a b^n-2 + b^n-1)
这个公式，但是用这个公式我只能证明出当n是奇数的时候a+1能整除a^n + 1
，和问题没什么关系

还请帮忙解答

已经把所有的悬赏分都压上了，不要嫌弃寒酸，谢谢
回楼下

我也就这个问题问过老师，老师说是他题目没出好，要for every a > 1，且不能proof by contradiction

证明不成立的话举个反例就好了。。。
比如a=2,n=2的时候a+1不能整除 a^n + 1

本题可用因式定理的推论证明
因式定理：x-t是多项式f（x）的因式的充要条件是t是f（x）的根。
从此看出“多项式f（x）在实数域上可被分解的充要条件是方程f（x）=0有实根”（推论）

证明：因为设f（a）=a^n+1，则由n为正偶数且a大于1得：a^n>1,所以 f（a）>2；即对于任意实数a，因式a^n+1不等于0，所以f（a）在实数域内没有任何因式，故a+1不能整除 a^n + 1

注意：本问题是整除性理论中的2个基本结论的特例（关于a+b和a^n+b^n与a^n-b^n之间的整除关系），请楼主者自作推广。